Si usas /cpanel puedas buscar la sección Bases de Datos y buscar el ícono de PHPMyAdmin.

1- Inicia sesión dentro de tu PHPMyAdmin y haz una copia de seguridad de tu base de datos: Para hacer esto solo selecciona el nombre de tu base de datos.

Luego te aparecerá la opción “Exportar”. Luego de que hagas clic en “Exportar” te aparecerá un pantalla en donde podrás realizar el respaldo. Normalmente te aparecerán marcados unos datos por defecto, déjalo así. Lo único que tendrás que marcar es “Enviar (genera un archivo descargable)”. Al seleccionar esta opción podrás descargar la copia de tu base de datos a tu pc.

2- Ahora tienes que utilizar un cliente FTP para descargar todos los archivos y carpetas que tienes en tu viejo servidor. La carpeta raíz completa de Joomla.

3- Luego de haber realizado esta operación tienes que hacer una nueva instalación de Joomla en tu nuevo servidor local. La instalación hazla de acuerdo a la versión Joomla que estés utilizando para evitar cualquier inconveniente.

4- Ahora agarra todos tus viejos archivos (los que tenías instalados en tu antiguo servidor) y cópialos dentro de tu nueva instalación de Joomla, excepto el archivo configuration.php. Este archivo no lo copies.

5- Luego borra los datos de tu nueva base de datos. Recuerda que cuando hicistes la nueva instalación de Joomla en tu nuevo servidor tuvistes que crear una nueva base de datos para poder instalarla. Ahora tienes que acceder a ella a través del PHPMyAdmin de tu nuevo servidor y seleccionar la nueva base de datos. Una vez seleccionada haz clic en el enlace que aparece al final que dice “Revisar todos/as”. Luego a la par o un poco más abajo te aparece un menú desplegable, haz clic en él y selecciona “Eliminar”

6- Ahora selecciona “Importar” y localiza el respaldo de la base de datos que habías guardado de tu sitio anterior y continúa con el procedimiento normal dentro de tu PHPMyAdmin.

Una vez que hayas importado tu nueva base de datos tienes que iniciar sesión con el usuario y contraseña que tenía en tu antiguo sitio (al acceder a Joomla). Pero antes de esto recuerda revisar el archivo configuration.php que se instaló automáticamente con la nueva instalación de Joomla, para corregir cualquier error que pudieras tener.

NOTA: Yo te recomendaría que utilices la misma contraseña que tienes en tu vieja instalación de Joomla, en la nueva instalación de Joomla.

Recuerda de NO eliminar tu sitio tal y como está en tu servidor actual para evitar cualquier error en tu nueva instalación. Haz esto una vez que la nueva instalación haya salido con éxito.

Gracias a Larenz por la información